Hay longitudes perfectamente reales y medibles que no pueden expresarse como una fracción de números enteros. Uno de los ejemplos más importantes aparece en una figura extremadamente sencilla: un cuadrado de lado 1.
Una pregunta aparentemente simple
Consideremos la ecuación
\[ x^2=2. \]La pregunta es:
¿Existe un número racional cuyo cuadrado sea 2?
Antes de responderla algebraicamente, podemos encontrar el número que necesitamos mediante geometría.
La diagonal de un cuadrado unitario
Tomemos un cuadrado cuyos lados tienen longitud \(1\). Si \(d\) representa la longitud de su diagonal, el teorema de Pitágoras nos da
\[ d^2=1^2+1^2. \]Por tanto,
\[ d^2=2, \]y como una longitud es positiva,
\[ d=\sqrt{2}. \]Así, \(\sqrt{2}\) representa una longitud perfectamente determinada. En la recta numérica ocupa un punto exacto situado entre \(1\) y \(2\):
\[ 1<\sqrt{2}<2. \]¿Puede escribirse \(\sqrt{2}\) como una fracción?
Supongamos, para obtener una contradicción, que \(\sqrt{2}\) fuera racional. Entonces podrían existir enteros \(p\) y \(q\), con \(q\neq0\), tales que
\[ \sqrt{2}=\frac{p}{q}, \]donde la fracción \(\frac{p}{q}\) está reducida a términos mínimos.
Elevando al cuadrado,
\[ 2=\frac{p^2}{q^2}, \]de modo que
\[ p^2=2q^2. \]Esto implica que \(p^2\) es par. Por lo tanto, \(p\) también es par. Podemos escribir
\[ p=2k \]para algún entero \(k\). Sustituyendo,
\[ (2k)^2=2q^2, \] \[ 4k^2=2q^2, \] \[ q^2=2k^2. \]Entonces \(q^2\) también es par y, por consiguiente, \(q\) es par.
Hemos concluido que \(p\) y \(q\) son ambos pares. Pero eso contradice la suposición de que \(\frac{p}{q}\) estaba escrita en términos mínimos.
Por tanto,
\[ \boxed{\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}}. \]Es decir, \(\sqrt{2}\) es irracional.
Pero \(\sqrt{2}\) sí es un número real
Que \(\sqrt{2}\) no sea racional no significa que no exista como número. Tiene una posición exacta en la recta numérica, puede compararse con otros números y representa, por ejemplo, la longitud exacta de la diagonal de un cuadrado de lado \(1\).
Por eso necesitamos un conjunto numérico más amplio que \(\mathbb{Q}\): el conjunto de los números reales, \(\mathbb{R}\).
Los conjuntos numéricos fundamentales satisfacen la cadena de inclusiones
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]Dentro de \(\mathbb{R}\) encontramos tanto números racionales como números irracionales.
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R} \qquad\text{pero}\qquad \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. \]Las soluciones de \(x^2=2\)
Ahora podemos responder completamente a la pregunta inicial.
La ecuación
\[ x^2=2 \]no tiene soluciones racionales, pero sí tiene dos soluciones reales:
\[ \boxed{x=\pm\sqrt{2}}. \]Ambas son irracionales.
La idea esencial
Los números racionales no son suficientes para representar todas las magnitudes que aparecen naturalmente en las matemáticas.
La diagonal de un cuadrado unitario proporciona un ejemplo fundamental: su longitud es exactamente \(\sqrt{2}\), un número que corresponde a un punto preciso de la recta numérica pero que no puede escribirse como cociente de dos números enteros.
El sistema de los números reales amplía nuestra concepción de número para incluir estas cantidades y construir una recta numérica continua capaz de representar tanto números racionales como irracionales.
Deja una respuesta