El conjunto de los números reales, representado por \(\mathbb{R}\), reúne todos los números que pueden ubicarse en la recta numérica. Dentro de este sistema encontramos números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Los conjuntos numéricos fundamentales
Los principales conjuntos numéricos se relacionan mediante inclusiones:
\[
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.
\]
Esto significa que todo número natural es entero, todo entero es racional y todo racional es real.
Por ejemplo,
\[
3\in\mathbb{N},\qquad
3\in\mathbb{Z},\qquad
3\in\mathbb{Q},\qquad
3\in\mathbb{R}.
\]
Números racionales
Los números racionales son aquellos que pueden escribirse como cociente de dos números enteros:
\[
\mathbb{Q}
=
\left\{
\frac{p}{q}
:
p,q\in\mathbb{Z},
\ q\neq 0
\right\}.
\]
Algunos ejemplos son:
\[
-2,\qquad
\frac{1}{2},\qquad
3.
\]
En efecto,
\[
-2=\frac{-2}{1},
\qquad
\frac{1}{2}=\frac{1}{2},
\qquad
3=\frac{3}{1}.
\]
Por tanto,
\[
-2,\frac12,3\in\mathbb{Q}.
\]
Números irracionales
Los números irracionales son los números reales que no pertenecen al conjunto de los racionales.
\[
\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
\]
Dos ejemplos clásicos son
\[
\sqrt{2}
\qquad\text{y}\qquad
\pi.
\]
Ambos son números reales, pero no pueden escribirse como una fracción de enteros.
\[
\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},
\qquad
\pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
\]
Cómo se construye el conjunto de los números reales
Los números reales están formados por dos grandes clases:
- los números racionales;
- los números irracionales.
Por ello podemos escribir
\[
\mathbb{R}
=
\mathbb{Q}
\cup
\left(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\right).
\]
Además, ambos subconjuntos son disjuntos:
\[
\mathbb{Q}
\cap
\left(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\right)
=
\varnothing.
\]
Ejemplos y clasificación
Veamos cómo se clasifican algunos números concretos.
Para \(3\):
\[
3\in\mathbb{N},
\qquad
3\in\mathbb{Z},
\qquad
3\in\mathbb{Q},
\qquad
3\in\mathbb{R}.
\]
Para \(-2\):
\[
-2\in\mathbb{Z},
\qquad
-2\in\mathbb{Q},
\qquad
-2\in\mathbb{R}.
\]
Para \(\frac12\):
\[
\frac12\in\mathbb{Q},
\qquad
\frac12\in\mathbb{R}.
\]
Para \(\sqrt2\):
\[
\sqrt2\in\mathbb{R},
\qquad
\sqrt2\notin\mathbb{Q}.
\]
Para \(\pi\):
\[
\pi\in\mathbb{R},
\qquad
\pi\notin\mathbb{Q}.
\]
Los números reales y la recta numérica
Una interpretación fundamental del conjunto \(\mathbb{R}\) es que cada número real corresponde a un punto de la recta numérica.
En ella podemos situar números racionales como
\[
-2,\qquad
0,\qquad
\frac12,\qquad
3,
\]
y números irracionales como
\[
\sqrt2
\qquad\text{y}\qquad
\pi.
\]
Por ejemplo,
\[
1<\sqrt2<2
\]
y también
\[
3<\pi<4.
\]
La idea esencial
El conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\) contiene todos los puntos de la recta numérica y está formado por números racionales e irracionales.
Los racionales pueden escribirse como fracciones de números enteros, mientras que los irracionales no pueden hacerlo.
En resumen,
\[
\boxed{
\mathbb{N}
\subset
\mathbb{Z}
\subset
\mathbb{Q}
\subset
\mathbb{R}
}
\]
y
\[
\boxed{
\mathbb{R}
=
\mathbb{Q}
\cup
\left(
\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\right)
}.
\]
Por eso, no todos los números reales son fracciones de enteros.