Cada número real puede representarse mediante una expansión decimal.
La forma que adopta esa expansión nos permite distinguir una propiedad fundamental:
si el número es racional o irracional.
Tres comportamientos decimales fundamentales
Al recorrer la recta real encontramos números cuyas cifras decimales se comportan de maneras diferentes.
1. Decimal finito
Una expansión decimal es finita cuando termina después de un número determinado de cifras.
Por ejemplo,
\[
\frac{3}{4}=0.75.
\]
Como \(\frac34\) es el cociente de dos números enteros, pertenece al conjunto de los números racionales:
\[
\frac34\in\mathbb{Q}.
\]
Todo decimal finito representa un número racional.
2. Decimal periódico
Una expansión decimal es periódica cuando un bloque de cifras se repite indefinidamente.
El ejemplo clásico es
\[
\frac13=0.3333\ldots=0.\overline{3}.
\]
La repetición no tiene que comenzar necesariamente en la primera cifra decimal. Por ejemplo,
\[
\frac16=0.16666\ldots=0.1\overline{6}.
\]
Por ello, de manera más precisa, hablamos de expansiones eventualmente periódicas.
Todo número cuya expansión decimal termina o se vuelve periódica es racional.
\[
x\in\mathbb{Q}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{su expansión decimal es finita o eventualmente periódica}.
\]
3. Decimal infinito no periódico
Los números irracionales poseen expansiones decimales que continúan indefinidamente
sin formar un bloque periódico de cifras.
Por ejemplo,
\[
\sqrt2=1.4142135623\ldots
\]
y
\[
\pi=3.14159265\ldots
\]
Ambos son números reales, pero no racionales:
\[
\sqrt2\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},
\qquad
\pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
\]
La caracterización decimal de los números racionales
Existe una relación exacta entre la representación decimal y la clasificación de un número real:
\[
\boxed{
x\in\mathbb{Q}
\iff
\text{la expansión decimal de }x
\text{ es finita o eventualmente periódica}
}
\]
En consecuencia,
\[
\boxed{
x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\iff
\text{su expansión decimal es infinita y no periódica}
}
\]
Esta propiedad proporciona una manera muy útil de distinguir racionales e irracionales.
Ejemplos de expansiones decimales
Un número natural también puede escribirse mediante una expansión decimal finita:
\[
2=2.0,
\qquad
2\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}.
\]
Lo mismo ocurre con los enteros:
\[
-5=-5.0,
\qquad
-5\in\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}.
\]
Para una fracción como
\[
\frac18,
\]
obtenemos
\[
\frac18=0.125,
\]
que es un decimal finito y, por tanto, racional.
En cambio,
\[
\frac27=0.\overline{285714},
\]
presenta un bloque de seis cifras que se repite indefinidamente. Sigue siendo un número racional:
\[
\frac27\in\mathbb{Q}.
\]
Los casos de \(\sqrt2\) y \(\pi\) son diferentes:
\[
\sqrt2=1.41421356\ldots,
\]
\[
\pi=3.14159265\ldots
\]
Sus expansiones continúan indefinidamente sin volverse periódicas, por lo que son irracionales.
Todos viven en la misma recta real
Que racionales e irracionales tengan expansiones decimales diferentes no significa que pertenezcan
a rectas distintas. Todos ellos son números reales y corresponden a puntos de una misma recta numérica.
Por ejemplo, podemos ordenar algunos de ellos como
\[
-1
<
\frac12
<
\frac13+1
<
\sqrt2
<
\pi,
\]
siempre respetando sus valores numéricos exactos o aproximados.
En particular,
\[
1<\sqrt2<2
\]
y
\[
3<\pi<4.
\]
Una precisión importante sobre la escritura decimal
Algunos números racionales admiten dos escrituras decimales equivalentes. Por ejemplo,
\[
0.5=0.5000\ldots=0.4999\ldots
\]
y también
\[
1=0.9999\ldots
\]
Por ello, cuando se habla de una representación decimal única suele adoptarse la convención
de utilizar la representación que no termina en una cola infinita de nueves.
Con esta convención, cada número real posee una representación decimal canónica.
La idea esencial
La expansión decimal deja una auténtica “huella” matemática:
- decimal finito \(\Rightarrow\) número racional;
- decimal eventualmente periódico \(\Rightarrow\) número racional;
- decimal infinito no periódico \(\Rightarrow\) número irracional.
En forma compacta,
\[
\boxed{
\text{racional}
\iff
\text{decimal finito o eventualmente periódico}
}
\]
mientras que
\[
\boxed{
\text{irracional}
\iff
\text{decimal infinito no periódico}
}
\]
Así, las cifras decimales no son solamente una manera de escribir un número:
también revelan una propiedad profunda de su lugar dentro del sistema de los números reales.