Una de las propiedades más importantes de la recta real es su densidad:
si elegimos dos números reales distintos, por cercanos que estén, siempre podemos encontrar
otro número real situado estrictamente entre ellos.
En símbolos, si
\[
a
Una construcción inmediata: el punto medio
Dados dos números reales \(a Consideremos los enteros \(0\) y \(1\). Aunque no existe ningún otro entero entre ellos, Por ejemplo, \[ Tomemos \[ También podemos utilizar el mismo procedimiento con números irracionales. \[ El punto medio produce solamente un ejemplo, pero podemos describir toda una familia de números intermedios. \[ Entre \(2\) y \(3\), por ejemplo: \[ La propiedad \[ Una consecuencia intuitiva es que al ampliar cualquier pequeño segmento de la recta real siempre aparecen Por ejemplo, después de \(1\) no hay un número real inmediatamente siguiente, porque si alguien propusiera \[ La densidad explica que entre dos números reales siempre existen otros números. Por ejemplo, el conjunto de los números racionales \(\mathbb{Q}\) también es denso: \[ En un tratamiento matemático riguroso conviene distinguir: La combinación de su estructura ordenada y su completitud es la que permite interpretar rigurosamente Dados dos números reales cualesquiera, \[
sí existen infinitos números reales.
0<\frac14<\frac12<\frac34<1.
\]
Y estos son solamente algunos. También pertenecen al intervalo \((0,1)\) números como
\[
\frac1{10},\qquad
\frac{37}{100},\qquad
\frac{\sqrt2}{2},\qquad
\frac{\pi}{4},
\]
entre muchos otros.
Esto muestra una distinción importante: que dos números sean consecutivos dentro de un subconjunto,
como ocurre con \(0\) y \(1\) dentro de \(\mathbb{Z}\), no significa que sean consecutivos dentro de
\(\mathbb{R}\).
Entre dos números racionales
\frac13<\frac12.
\]
Su punto medio es
\[
\frac{
\frac13+\frac12
}{2}.
\]
Calculando,
\[
\frac13+\frac12
=
\frac{2}{6}+\frac{3}{6}
=
\frac56,
\]
por lo que
\[
\frac{
\frac56
}{2}
=
\frac{5}{12}.
\]
Así,
\[
\boxed{
\frac13<\frac{5}{12}<\frac12
}.
\]
Además, \(\frac{5}{12}\) es racional. De hecho, entre dos números racionales distintos existen
infinitos números racionales.Entre dos números irracionales
Por ejemplo,
\sqrt2<\sqrt3.
\]
El promedio de ambos es
\[
c=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{2},
\]
y necesariamente satisface
\[
\boxed{
\sqrt2<
\frac{\sqrt2+\sqrt3}{2}
<
\sqrt3
}.
\]
Por tanto, incluso entre dos números irracionales podemos construir explícitamente otro número real.
¿Por qué hay infinitos números entre \(a\) y \(b\)?
Si
a0\) y \(0
2<2.5<3.
\]
Entre \(-1\) y \(0\):
\[
-1<-0.5<0.
\]
Entre \(0.1\) y \(0.2\):
\[
0.1<0.15<0.2.
\]
Incluso entre números expresados mediante constantes irracionales podemos construir puntos intermedios.
Por ejemplo,
\[
\pi<\pi+\frac12<\pi+1.
\]
La densidad de la recta real
adensidad del orden de los números reales.
más números. No existe un “siguiente número real” después de un número dado.
\(b>1\), siempre podríamos construir
\frac{1+b}{2},
\]
que estaría situado entre ambos.Una precisión importante: densidad y continuidad no son lo mismo
Sin embargo, esta propiedad por sí sola no es suficiente para caracterizar completamente la idea rigurosa
de que la recta real “no tiene huecos”.
entre dos racionales distintos siempre existe otro racional. Sin embargo, \(\mathbb{Q}\) no contiene números
como
\sqrt2
\]
y, por tanto, no posee la propiedad de completitud de \(\mathbb{R}\).
la recta real como un continuo matemático.La idea esencial
a