Los números reales forman un sistema que reúne diferentes conjuntos numéricos relacionados entre sí. La estructura fundamental puede resumirse mediante la cadena de inclusiones
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]Esto significa que todo número natural es entero, todo entero es racional y todo racional es real. Además, dentro de \(\mathbb{R}\) existen números que no son racionales: los números irracionales.
Los números naturales
Usando la convención mostrada en la lámina, el conjunto de los números naturales es
\[ \mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}. \]Por ejemplo,
\[ 3\in\mathbb{N}. \]Como \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\), también podemos concluir que
\[ 3\in\mathbb{Z}, \qquad 3\in\mathbb{Q}, \qquad 3\in\mathbb{R}. \]Los números enteros
El conjunto de los números enteros contiene los naturales, el cero y los enteros negativos:
\[ \mathbb{Z} = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}. \]Por ejemplo,
\[ -3\in\mathbb{Z}. \]Sin embargo, con la convención anterior,
\[ -3\notin\mathbb{N}. \]Como todo entero es racional y todo racional es real,
\[ -3\in\mathbb{Q} \qquad\text{y}\qquad -3\in\mathbb{R}. \]Los números racionales
Un número es racional si puede escribirse como un cociente de dos enteros con denominador distinto de cero:
\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a,b\in\mathbb{Z}, \ b\neq0 \right\}. \]Por ejemplo,
\[ \frac{1}{2}\in\mathbb{Q}, \]porque \(1\) y \(2\) son enteros y \(2\neq0\). Por la inclusión \(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\),
\[ \frac{1}{2}\in\mathbb{R}. \]Sin embargo,
\[ \frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}, \]por lo que ser racional no implica ser entero.
Los números irracionales
Los números irracionales son los números reales que no pertenecen al conjunto de los racionales. Si utilizamos \(\mathbb{I}\) para representar el conjunto de los irracionales, entonces
\[ \mathbb{I} = \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]Ejemplos importantes son
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{I} \qquad\text{y}\qquad \pi\in\mathbb{I}. \]Por tanto,
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}, \qquad \pi\notin\mathbb{Q}. \]Pero ambos siguen siendo números reales:
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}, \qquad \pi\in\mathbb{R}. \]Racionales e irracionales forman todo el conjunto real
Todo número real es racional o irracional. Por ello,
\[ \mathbb{Q}\cup\mathbb{I} = \mathbb{R}. \]Además, ningún número puede ser simultáneamente racional e irracional:
\[ \mathbb{Q}\cap\mathbb{I} = \varnothing. \]Así, los racionales y los irracionales forman una partición del conjunto de los números reales.
Comprobación de pertenencia
La estructura de los conjuntos permite decidir con precisión a qué conjuntos pertenece cada número mostrado en la lámina.
Para \(3\):
\[ 3\in\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. \]Para \(-3\):
\[ -3\notin\mathbb{N}, \qquad -3\in\mathbb{Z}, \qquad -3\in\mathbb{Q}, \qquad -3\in\mathbb{R}. \]Para \(\frac{1}{2}\):
\[ \frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}, \qquad \frac{1}{2}\in\mathbb{Q}, \qquad \frac{1}{2}\in\mathbb{R}. \]Para \(\sqrt{2}\):
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}, \qquad \sqrt{2}\in\mathbb{I}, \qquad \sqrt{2}\in\mathbb{R}. \]Y para \(\pi\):
\[ \pi\notin\mathbb{Q}, \qquad \pi\in\mathbb{I}, \qquad \pi\in\mathbb{R}. \]Todos aparecen sobre la misma recta real
A pesar de pertenecer a diferentes subconjuntos, todos los números anteriores pueden representarse como puntos de una única recta real.
En la región mostrada en la lámina se verifica, por ejemplo,
\[ -3 < 0 < \frac{1}{2} < \sqrt{2} < \pi < 4. \]Las posiciones de \(\sqrt{2}\) y \(\pi\) también son coherentes con las desigualdades
\[ 1<\sqrt{2}<2 \]y
\[ 3<\pi<4. \]La recta real permite visualizar simultáneamente el orden de los números y su pertenencia al conjunto \(\mathbb{R}\).
Una distinción importante
Las expresiones
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z} \]y
\[ 3\in\mathbb{N} \]no significan lo mismo. El símbolo \(\subset\) expresa una relación entre conjuntos, mientras que el símbolo \(\in\) expresa que un elemento pertenece a un conjunto.
Por ejemplo, es correcto escribir
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z} \]y
\[ 3\in\mathbb{N}, \]pero no deben intercambiarse estas dos relaciones.
En síntesis
Los conjuntos numéricos están organizados mediante inclusiones:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]Los números irracionales completan el sistema real mediante
\[ \mathbb{I} = \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \]de modo que
\[ \mathbb{Q}\cup\mathbb{I} = \mathbb{R}, \qquad \mathbb{Q}\cap\mathbb{I} = \varnothing. \]Reconocer estas relaciones permite comprobar correctamente si un número es natural, entero, racional, irracional o real y entender cómo todos estos objetos conviven sobre una misma recta numérica.