Un número real puede conocerse de forma exacta o mediante una aproximación. El ejemplo de \(\sqrt{2}\) permite distinguir con claridad ambas ideas y analizar qué ocurre cuando redondeamos con diferentes niveles de precisión.
El valor exacto es
\[ \sqrt{2}. \]Como \(\sqrt{2}\) es irracional,
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R} \qquad\text{y}\qquad \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. \]Su desarrollo decimal comienza como
\[ \sqrt{2} = 1.41421356237\ldots \]y continúa indefinidamente sin convertirse en un decimal periódico.
Valor exacto y aproximaciones
Podemos sustituir temporalmente \(\sqrt{2}\) por números decimales cercanos cuando una situación no requiere conservar todas las cifras.
Por ejemplo,
\[ \sqrt{2}\approx1.4, \] \[ \sqrt{2}\approx1.41, \] \[ \sqrt{2}\approx1.414, \]y, redondeando a cuatro cifras decimales,
\[ \sqrt{2}\approx1.4142. \]Estas expresiones utilizan el símbolo \(\approx\), no el símbolo \(=\), porque los números decimales escritos son aproximaciones y no el valor exacto de \(\sqrt{2}\).
En particular,
\[ \sqrt{2}\neq1.4, \qquad \sqrt{2}\neq1.41, \qquad \sqrt{2}\neq1.414, \qquad \sqrt{2}\neq1.4142. \]Todos siguen siendo números reales
Un punto importante es que redondear no nos saca del conjunto de los números reales. Tanto el valor exacto como cada una de sus aproximaciones son números reales:
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}, \] \[ 1.4\in\mathbb{R}, \qquad 1.41\in\mathbb{R}, \qquad 1.414\in\mathbb{R}, \qquad 1.4142\in\mathbb{R}. \]Sin embargo, no pertenecen necesariamente al mismo subconjunto de \(\mathbb{R}\). El número \(\sqrt{2}\) es irracional, mientras que todos los decimales finitos anteriores son racionales:
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \]pero
\[ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\ 1.4142\in\mathbb{Q}. \]Por tanto, una aproximación racional de un número irracional no convierte al número exacto en racional.
Una afirmación tentadora, pero falsa
Podría afirmarse:
“Como \(1.4142\) es una buena aproximación de \(\sqrt{2}\), entonces \(1.4142=\sqrt{2}\).”
Esta afirmación es falsa. Basta elevar ambos números al cuadrado.
Para el valor exacto,
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2. \]En cambio,
\[ (1.4142)^2=1.99996164. \]Como
\[ 1.99996164\neq2, \]se concluye que
\[ 1.4142\neq\sqrt{2}. \]La aproximación es muy precisa, pero sigue siendo una aproximación.
¿Dónde está exactamente \(\sqrt{2}\)?
Podemos encerrar \(\sqrt{2}\) entre dos números decimales comprobando sus cuadrados.
Tenemos
\[ 1.414^2=1.999396<2 \]y
\[ 1.415^2=2.002225>2. \]Como ambos números son positivos y la función \(x^2\) es creciente para \(x\geq0\), podemos concluir que
\[ 1.414<\sqrt{2}<1.415. \]Así, \(1.414\) está ligeramente a la izquierda de \(\sqrt{2}\) sobre la recta real, mientras que \(1.415\) está ligeramente a su derecha.
Es importante observar que \(1.415\) es útil aquí como cota superior decimal. No es el redondeo de \(\sqrt{2}\) a tres cifras decimales, pues dicho redondeo es
\[ \sqrt{2}\approx1.414. \]Error absoluto
Si \(a\) es una aproximación de \(\sqrt{2}\), su error absoluto se define mediante
\[ E_a = \left|\sqrt{2}-a\right|. \]Por ejemplo, para \(a=1.41\),
\[ \left|\sqrt{2}-1.41\right| \approx 0.00421356. \]Por tanto,
\[ \left|\sqrt{2}-1.41\right| \approx0.00421. \]Para \(a=1.414\),
\[ \left|\sqrt{2}-1.414\right| \approx 0.00021356, \]de modo que
\[ \left|\sqrt{2}-1.414\right| \approx0.000214. \]La segunda aproximación tiene un error mucho menor.
Más cifras decimales, mayor precisión
Al redondear correctamente \(\sqrt{2}\), obtenemos:
\[ \begin{aligned} \text{a 1 decimal:}&\qquad 1.4,\\ \text{a 2 decimales:}&\qquad 1.41,\\ \text{a 3 decimales:}&\qquad 1.414,\\ \text{a 4 decimales:}&\qquad 1.4142. \end{aligned} \]Cada nueva cifra retenida proporciona, en este caso, una representación más precisa del valor exacto.
Para un número redondeado a \(n\) cifras decimales, el error absoluto es como máximo
\[ \frac{1}{2}\times10^{-n}. \]Así, al redondear a dos cifras decimales,
\[ \left|\sqrt{2}-1.41\right|<0.005, \]mientras que al redondear a tres cifras decimales,
\[ \left|\sqrt{2}-1.414\right|<0.0005. \]Y al redondear a cuatro cifras decimales,
\[ \left|\sqrt{2}-1.4142\right|<0.00005. \]¿Puede un decimal finito ser exactamente \(\sqrt{2}\)?
No. Todo decimal finito es un número racional. Por ejemplo,
\[ 1.4142 = \frac{14142}{10000} = \frac{7071}{5000}, \]por lo que
\[ 1.4142\in\mathbb{Q}. \]Pero
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. \]En consecuencia, ningún decimal finito puede ser exactamente igual a \(\sqrt{2}\).
Lo que cambia y lo que no cambia
Al sustituir el valor exacto por una aproximación ocurren dos cosas distintas:
- cambia el valor utilizado, porque una aproximación no es exactamente igual a \(\sqrt{2}\);
- cambia la precisión con la que representamos la cantidad.
Pero todos los números involucrados continúan perteneciendo al conjunto \(\mathbb{R}\).
Por eso debemos distinguir cuidadosamente entre decir que varios números pertenecen al mismo conjunto y afirmar que son el mismo número.
En síntesis
El valor
\[ \sqrt{2} \]es un número real irracional y constituye el valor exacto. Los números
\[ 1.4,\qquad 1.41,\qquad 1.414,\qquad 1.4142 \]son números racionales que pueden utilizarse como aproximaciones de distinta precisión.
Además,
\[ 1.414<\sqrt{2}<1.415, \]lo que permite localizar el valor exacto entre cotas decimales muy cercanas. Cuantas más cifras correctas conservamos, menor puede ser el error, pero ninguna aproximación decimal finita llega a convertirse exactamente en \(\sqrt{2}\).