El sistema de los números reales reúne todos los números racionales e irracionales y permite representarlos sobre una misma recta numérica.
El conjunto de los números reales se denota por \(\mathbb{R}\) y puede expresarse como
\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}, \qquad \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing, \]
donde \(\mathbb{Q}\) es el conjunto de los números racionales y \(\mathbb{I}\) representa el conjunto de los números irracionales.
La estructura de los números reales
Dentro de los números racionales aparecen otros conjuntos fundamentales:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Así, los números naturales forman parte de los enteros, los enteros forman parte de los racionales y todos ellos son números reales.
- Números naturales: \(\mathbb{N}\)
- Números enteros: \(\mathbb{Z}\)
- Números racionales: \(\mathbb{Q}\)
- Números irracionales: \(\mathbb{I}\)
- Números reales: \(\mathbb{R}\)
Los números irracionales también pertenecen a \(\mathbb{R}\), pero no pertenecen a \(\mathbb{Q}\). Por ejemplo,
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{I}\subset\mathbb{R} \]
y
\[ \pi\in\mathbb{I}\subset\mathbb{R}. \]
Distintas representaciones del mismo número real
Un mismo número real puede escribirse de distintas maneras. Una fracción y su desarrollo decimal pueden representar exactamente el mismo punto de la recta real.
Por ejemplo,
\[ 0.75=\frac{3}{4}. \]
Por tanto, ambas expresiones representan el mismo número y se cumple
\[ 0.75\in\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
De manera semejante,
\[ 0.333\ldots=\frac{1}{3}, \]
por lo que
\[ 0.333\ldots\in\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Esto muestra una característica importante de los números racionales: pueden expresarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \;:\; a,b\in\mathbb{Z}, \; b\neq0 \right\}. \]
Ubicación en la recta real
Cada número real corresponde a un único punto de la recta real, aunque pueda escribirse mediante expresiones diferentes.
En la lámina aparecen, por ejemplo, los números
\[ -4,\qquad -\frac{1}{2},\qquad 0,\qquad \frac{3}{4},\qquad \sqrt{2},\qquad \pi. \]
Todos pertenecen a \(\mathbb{R}\), aunque corresponden a subconjuntos diferentes.
El número \(-4\) es entero y, en consecuencia, también es racional y real:
\[ -4\in\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Por su parte, cualquier número natural como \(5\) satisface
\[ 5\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Los números irracionales también pueden localizarse exactamente sobre la recta real. Por ejemplo,
\[ 1<\sqrt{2}<2 \]
y
\[ 3<\pi<4. \]
Aunque sus desarrollos decimales son infinitos y no periódicos, ambos corresponden a puntos perfectamente determinados de la recta real.
Idea clave
El sistema de los números reales permite integrar en una misma estructura a números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Una diferencia de representación no implica necesariamente una diferencia de número. Expresiones como \(0.75\) y \(\frac{3}{4}\) son representaciones equivalentes del mismo número real y, por tanto, ocupan exactamente el mismo punto de la recta.
Para clasificar correctamente un número conviene determinar primero su naturaleza y después utilizar las relaciones de inclusión entre los conjuntos:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, \qquad \mathbb{I}\subset\mathbb{R}, \qquad \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing. \]