Un mismo número real puede representarse de distintas maneras. Podemos escribirlo como fracción, como decimal, como porcentaje o mediante notación científica sin cambiar el número que estamos describiendo.
En este ejemplo construiremos el número
\[ \frac{5}{3} \]y verificaremos que sus diferentes representaciones corresponden al mismo punto de la recta real.
1. Forma fraccionaria
Comenzamos con
\[ \frac{5}{3}. \]Esta expresión es el cociente de dos números enteros y su denominador es distinto de cero. Por definición,
\[ \frac{5}{3}\in\mathbb{Q}. \]Como todo número racional es también un número real,
\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, \]tenemos
\[ \frac{5}{3}\in\mathbb{R}. \]Por tanto, \(\frac{5}{3}\) constituye un ejemplo concreto y no trivial de número real racional.
2. Forma decimal
Para obtener su representación decimal realizamos la división
\[ 5\div3. \]El resultado es
\[ \frac{5}{3} = 1.6666\ldots \]o, utilizando notación periódica,
\[ \frac{5}{3} = 1.\overline{6}. \]La barra indica que el dígito \(6\) se repite indefinidamente:
\[ 1.\overline{6} = 1.666666\ldots \]Esta igualdad es exacta. No estamos aproximando \(\frac{5}{3}\); simplemente estamos escribiendo el mismo número racional en forma decimal periódica.
3. Verificación de la representación decimal
Podemos verificar algebraicamente que
\[ 1.\overline{6} = \frac{5}{3}. \]Sea
\[ x=1.\overline{6}. \]Multiplicamos por \(10\):
\[ 10x=16.\overline{6}. \]Restando la ecuación original,
\[ 10x-x = 16.\overline{6}-1.\overline{6}, \]obtenemos
\[ 9x=15. \]Por tanto,
\[ x=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}. \]Así queda comprobado que
\[ 1.\overline{6} = \frac{5}{3}. \]4. Forma porcentual
Para expresar un número como porcentaje multiplicamos su valor por \(100\%\):
\[ \frac{5}{3}\times100\% = \frac{500}{3}\%. \]Como
\[ \frac{500}{3} = 166.\overline{6}, \]obtenemos exactamente
\[ \frac{5}{3} = 166.\overline{6}\%. \]También podemos escribir
\[ 166.\overline{6}\% = 166.6666\ldots\%. \]Si decidimos limitar el número de cifras decimales, debemos utilizar una aproximación. Por ejemplo,
\[ \frac{5}{3} \approx 166.7\%. \]Aquí el símbolo \(\approx\) es necesario porque \(166.7\%\) no representa exactamente \(\frac{5}{3}\).
5. Notación científica
Un número no nulo está escrito en notación científica cuando aparece en la forma
\[ a\times10^n, \]donde
\[ 1\leq|a|<10 \]y \(n\in\mathbb{Z}\).
Como
\[ \frac{5}{3} = 1.\overline{6}, \]podemos escribir exactamente
\[ \frac{5}{3} = 1.\overline{6}\times10^0. \]Dado que
\[ 10^0=1, \]esta forma no cambia el valor:
\[ 1.\overline{6}\times10^0 = 1.\overline{6} = \frac{5}{3}. \]En este caso la notación científica no simplifica mucho la representación, pero permite comprobar que el mismo número puede expresarse también en ese formato.
6. Verificación de equivalencia
Reuniendo las representaciones exactas, obtenemos
\[ \boxed{ \frac{5}{3} = 1.\overline{6} = 166.\overline{6}\% = 1.\overline{6}\times10^0 } \]Todas estas expresiones representan exactamente el mismo número real.
Es importante distinguir esta cadena de igualdades de las aproximaciones decimales, por ejemplo:
\[ \frac{5}{3} \approx 1.7, \] \[ \frac{5}{3} \approx 1.67, \] \[ \frac{5}{3} \approx 1.667, \] \[ \frac{5}{3} \approx 1.6667. \]Estas últimas expresiones son aproximaciones obtenidas mediante redondeo.
7. Cómo se obtienen las aproximaciones
Como
\[ \frac{5}{3} = 1.666666\ldots, \]al redondear a una cifra decimal obtenemos
\[ \frac{5}{3} \approx1.7. \]A dos cifras decimales:
\[ \frac{5}{3} \approx1.67. \]A tres cifras decimales:
\[ \frac{5}{3} \approx1.667. \]Y a cuatro cifras decimales:
\[ \frac{5}{3} \approx1.6667. \]A medida que aumentamos la cantidad de cifras conservadas, las aproximaciones se acercan al valor exacto.
8. Ubicación sobre la recta real
También podemos localizar \(\frac{5}{3}\) exactamente sobre la recta real. Como
\[ \frac{3}{3} < \frac{5}{3} < \frac{6}{3}, \]se sigue que
\[ 1 < \frac{5}{3} < 2. \]Por tanto, el punto correspondiente a \(\frac{5}{3}\) se encuentra entre \(1\) y \(2\).
Además,
\[ \frac{5}{3} = 1+\frac{2}{3}, \]por lo que está situado a dos tercios de la distancia desde \(1\) hasta \(2\).
9. Todas las representaciones corresponden al mismo punto
La forma en que escribimos un número no modifica su posición sobre la recta real. Por eso,
\[ \frac{5}{3}, \qquad 1.\overline{6}, \qquad 166.\overline{6}\%, \qquad 1.\overline{6}\times10^0 \]corresponden exactamente al mismo punto.
Las representaciones son distintas, pero el número real es uno solo.
10. Exactitud frente a aproximación
Conviene distinguir claramente entre expresiones exactas como
\[ \frac{5}{3} = 1.\overline{6} \]y expresiones aproximadas como
\[ \frac{5}{3} \approx1.67. \]En la primera aparece el símbolo \(=\) porque ambos lados tienen exactamente el mismo valor.
En la segunda usamos \(\approx\) porque \(1.67\) es cercano a \(\frac{5}{3}\), pero no es igual a él.
De hecho,
\[ 1.67 = \frac{167}{100}, \]y
\[ \frac{167}{100} \neq \frac{5}{3}. \]Una multiplicación cruzada lo confirma:
\[ 167\cdot3=501 \]mientras que
\[ 5\cdot100=500. \]Por tanto,
\[ 1.67\neq\frac{5}{3}. \]En síntesis
El número
\[ \frac{5}{3} \]es un número racional y, por tanto, real. Puede representarse exactamente como
\[ \frac{5}{3} = 1.\overline{6} = 166.\overline{6}\% = 1.\overline{6}\times10^0. \]También admite aproximaciones como
\[ 1.7,\qquad 1.67,\qquad 1.667,\qquad 1.6667. \]Todas las representaciones exactas corresponden al mismo punto de la recta real, ubicado entre \(1\) y \(2\):
\[ 1<\frac{5}{3}<2. \]Este ejemplo muestra cómo construir, interpretar y verificar un número real desde distintas representaciones sin confundir una igualdad exacta con una aproximación.