En matemáticas, una transformación algebraica no es correcta únicamente porque se parezca a una regla conocida. Antes de aplicar una propiedad debemos comprobar que se cumplen todas sus hipótesis y condiciones de dominio.
Un ejemplo especialmente útil aparece al trabajar con raíces cuadradas dentro del conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\).
La pregunta
¿Podemos manipular \(\sqrt{-1}\) del mismo modo que una raíz cuadrada de un número positivo?
En \(\mathbb{R}\), la respuesta es no, porque la raíz cuadrada real
\[ \sqrt{a} \]está definida solamente cuando
\[ a\geq 0. \]Como
\[ -1<0, \]la expresión \(\sqrt{-1}\) no representa un número real.
La regla que debemos usar con cuidado
Para números reales no negativos \(a\) y \(b\), se cumple
\[ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}, \qquad a\geq0, \quad b\geq0. \]Las condiciones \(a\geq0\) y \(b\geq0\) son parte esencial de la propiedad. No pueden eliminarse.
Por ejemplo, si
\[ a=4 \qquad\text{y}\qquad b=9, \]entonces
\[ \sqrt{4\cdot9} = \sqrt{4}\sqrt{9} = 2\cdot3 = 6. \]Aquí la propiedad es válida porque ambos factores son no negativos.
¿Qué ocurre con un factor negativo?
Si intentamos utilizar la misma regla con \(-1\), aparece inmediatamente un problema de dominio. La expresión
\[ \sqrt{-1} \]no está definida como número real. Por tanto, dentro de \(\mathbb{R}\) no es válido tratar \(\sqrt{-1}\) como si fuera una raíz cuadrada real ordinaria y aplicarle propiedades que requieren radicandos no negativos.
En particular, una transformación como
\[ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \]no puede utilizarse automáticamente cuando alguno de los factores es negativo. La validez de una identidad depende de sus hipótesis.
Una comprobación directa
También podemos demostrar directamente que \(\sqrt{-1}\) no pertenece a \(\mathbb{R}\).
Supongamos que existiera un número real \(x\) tal que
\[ x^2=-1. \]Para todo \(x\in\mathbb{R}\), se cumple
\[ x^2\geq0. \]Por tanto, sería imposible satisfacer simultáneamente
\[ x^2\geq0 \]y
\[ x^2=-1<0. \]Llegamos a una contradicción. En consecuencia, no existe \(x\in\mathbb{R}\) cuyo cuadrado sea \(-1\).
Así,
\[ \sqrt{-1}\notin\mathbb{R}. \]Interpretación geométrica de la raíz cuadrada
Cuando \(a\geq0\), la cantidad \(\sqrt{a}\) puede interpretarse como la longitud del lado de un cuadrado cuya área es \(a\).
En efecto, si el lado mide \(\sqrt{a}\), entonces su área es
\[ \left(\sqrt{a}\right)^2=a. \]Esta interpretación también ayuda a entender la restricción del dominio: un cuadrado real no puede tener área negativa.
Por eso no existe, dentro de la geometría real usual, un cuadrado cuyo área sea
\[ -1. \]La recta real tampoco contiene \(\sqrt{-1}\)
Cada número real corresponde a un punto de la recta real. Podemos ubicar allí números como
\[ -3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3. \]Sin embargo, \(\sqrt{-1}\) no corresponde a ningún punto de esa recta porque
\[ \sqrt{-1}\notin\mathbb{R}. \]Esto no significa que la expresión carezca de sentido en toda la matemática. Al ampliar el sistema numérico a los números complejos se introduce la unidad imaginaria \(i\), definida por
\[ i^2=-1. \]Entonces, en \(\mathbb{C}\),
\[ \sqrt{-1}=i \]cuando \(\sqrt{\phantom{x}}\) se interpreta como la raíz cuadrada principal compleja. Pero ese desarrollo pertenece al sistema de los números complejos, no al sistema de los números reales que estamos estudiando aquí.
Otro error frecuente
Tampoco debe confundirse
\[ \sqrt{x^2} \]con \(x\) para todo número real. La identidad correcta es
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]Por ejemplo, si \(x=-3\),
\[ \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3, \]mientras que
\[ x=-3. \]Por tanto,
\[ \sqrt{x^2}=x \]solo es válida cuando \(x\geq0\). Este es otro ejemplo de por qué las restricciones y las hipótesis no son detalles opcionales.
La regla general
Antes de realizar una transformación algebraica conviene verificar tres cosas:
- que todas las expresiones involucradas estén definidas en el dominio considerado;
- que se cumplan las hipótesis de la propiedad utilizada;
- que cada paso conserve realmente la equivalencia matemática.
Conclusión
Dentro de los números reales, la raíz cuadrada \(\sqrt{a}\) está definida para
\[ a\geq0. \]Además, la propiedad
\[ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} \]puede utilizarse, en particular, cuando
\[ a\geq0 \qquad\text{y}\qquad b\geq0. \]Como \(-1<0\),
\[ \sqrt{-1}\notin\mathbb{R}. \]La lección fundamental es que una regla algebraica nunca debe aplicarse fuera de las condiciones que garantizan su validez. Verificar el dominio y las hipótesis es parte esencial del razonamiento matemático correcto.