El sistema de los números reales reúne los números que utilizamos para representar cantidades y posiciones sobre una recta numérica continua. Este conjunto se denota por \(\mathbb{R}\).
Una de sus propiedades visuales más importantes es que cada número real corresponde a un único punto de la recta real y, recíprocamente, cada punto de la recta representa un número real.
La idea esencial
Dentro de \(\mathbb{R}\) encontramos varios conjuntos numéricos relacionados entre sí. En particular,
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]Esta cadena de inclusiones indica que:
- todo número natural es también un número entero;
- todo número entero es también un número racional;
- todo número racional es también un número real.
Por ejemplo,
\[ -3\in\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, \]de modo que \(-3\) es entero, racional y real.
Los números racionales
Un número racional es un número que puede escribirse como el cociente de dos enteros:
\[ \frac{a}{b}, \qquad a,b\in\mathbb{Z}, \qquad b\neq 0. \]El conjunto de los números racionales se denota por \(\mathbb{Q}\). Por ejemplo,
\[ \frac{1}{2}\in\mathbb{Q}. \]Como todo número racional es real,
\[ \frac{1}{2}\in\mathbb{R}. \]Los números irracionales
No todos los números reales son racionales. Los números reales que no pertenecen a \(\mathbb{Q}\) se llaman irracionales. Denotando por \(\mathbb{I}\) el conjunto de los números irracionales,
\[ \mathbb{I} = \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]Ejemplos fundamentales son
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{I}, \qquad \pi\in\mathbb{I}. \]Aunque \(\sqrt{2}\) y \(\pi\) no son racionales, ambos son números reales:
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}, \qquad \pi\in\mathbb{R}. \]Racionales e irracionales forman todo \(\mathbb{R}\)
Todo número real es racional o irracional. Por ello,
\[ \mathbb{Q}\cup\mathbb{I}=\mathbb{R}. \]Además, ningún número puede ser simultáneamente racional e irracional:
\[ \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing. \]Así, \(\mathbb{Q}\) y \(\mathbb{I}\) son subconjuntos disjuntos cuya unión constituye todo el conjunto de los números reales.
Un ejemplo sobre la recta real
Consideremos los cuatro números representados en la lámina:
\[ -3, \qquad \frac{1}{2}, \qquad \sqrt{2}, \qquad \pi. \]Todos pertenecen a \(\mathbb{R}\), aunque proceden de diferentes subconjuntos:
\[ -3\in\mathbb{Z}, \] \[ \frac{1}{2}\in\mathbb{Q}, \] \[ \sqrt{2}\in\mathbb{I}, \] \[ \pi\in\mathbb{I}. \]Sobre la recta real aparecen ordenados según su valor. En particular,
\[ -3 < \frac{1}{2} < \sqrt{2} < \pi. \]Esto también permite comprobar visualmente sus posiciones: \(\frac{1}{2}\) está entre \(0\) y \(1\), \(\sqrt{2}\) está entre \(1\) y \(2\), y \(\pi\) está entre \(3\) y \(4\).
Una sola recta para todos los números reales
La recta real no está formada únicamente por enteros ni únicamente por racionales. Entre sus puntos aparecen también todos los números irracionales. Por eso la recta numérica proporciona una representación geométrica continua del conjunto \(\mathbb{R}\).
En símbolos, las relaciones principales pueden resumirse como
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, \] \[ \mathbb{I} = \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \] \[ \mathbb{Q}\cup\mathbb{I} = \mathbb{R}, \qquad \mathbb{Q}\cap\mathbb{I} = \varnothing. \]En síntesis
El sistema de los números reales unifica números naturales, enteros, racionales e irracionales dentro de un mismo conjunto. Cada número real ocupa una posición única sobre la recta numérica, y cada punto de esa recta representa un número real.
Comprender esta estructura es fundamental para estudiar posteriormente intervalos, desigualdades, funciones y otras construcciones esenciales del Precálculo.