En el sistema de los números reales, un mismo valor puede representarse de forma exacta o mediante una aproximación decimal. Redondear un número modifica la precisión de su representación, pero no hace que deje de pertenecer al conjunto de los números reales.
La idea esencial
Consideremos, por ejemplo, los números \(\sqrt{2}\), \(\pi\) y una medida de \(2.347\,\text{m}\). Todos son números reales:
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}, \qquad \pi\in\mathbb{R}, \qquad 2.347\in\mathbb{R}. \]Podemos sustituir sus representaciones por aproximaciones decimales de distinta precisión:
\[ \sqrt{2}\approx 1.41, \qquad \sqrt{2}\approx 1.4, \] \[ \pi\approx 3.14, \qquad \pi\approx 3.1, \]y, para la medida mostrada,
\[ 2.347\,\text{m}\approx 2.35\,\text{m}, \qquad 2.347\,\text{m}\approx 2.3\,\text{m}. \]Los valores aproximados \(1.41\), \(1.4\), \(3.14\), \(3.1\), \(2.35\) y \(2.3\) también son números reales. Lo que cambia al redondear es la cantidad de información decimal que conservamos, no la pertenencia al conjunto \(\mathbb{R}\).
Exacto y aproximado no significan lo mismo
Es importante distinguir entre una igualdad exacta y una aproximación. Por ejemplo,
\[ \pi \neq 3.14, \qquad \pi \approx 3.14, \]porque \(3.14\) no es exactamente \(\pi\), sino una aproximación decimal. De manera análoga,
\[ \sqrt{2}\neq 1.41, \qquad \sqrt{2}\approx 1.41. \]El símbolo \(\approx\) indica que dos cantidades son aproximadamente iguales, mientras que el símbolo \(=\) debe reservarse para igualdades exactas.
Redondear una medida
La cantidad
\[ 2.347\,\text{m} \]puede redondearse a dos decimales como
\[ 2.347\,\text{m}\approx 2.35\,\text{m}, \]y a un decimal como
\[ 2.347\,\text{m}\approx 2.3\,\text{m}. \]En ambos casos obtenemos una representación menos precisa de la medida original, pero las cantidades numéricas utilizadas siguen perteneciendo a \(\mathbb{R}\).
Racionales e irracionales siguen formando los números reales
El conjunto de los números reales puede descomponerse en números racionales e irracionales. Si \(\mathbb{I}\) representa el conjunto de los irracionales, entonces
\[ \mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \]y además
\[ \mathbb{Q}\cup\mathbb{I}=\mathbb{R}, \qquad \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing. \]Por ejemplo, \(\pi\) y \(\sqrt{2}\) son irracionales, mientras que sus aproximaciones decimales finitas, como \(3.14\) y \(1.41\), son racionales. Sin embargo, tanto los racionales como los irracionales pertenecen a \(\mathbb{R}\).
No confundir números reales con intervalos
Un número, como
\[ \pi, \]es un elemento de \(\mathbb{R}\). En cambio, un intervalo describe un subconjunto de la recta real.
Por ejemplo,
\[ [1,2) = \left\{ x\in\mathbb{R}:1\leq x<2 \right\}. \]El extremo \(1\) pertenece al intervalo porque la condición permite \(x=1\):
\[ 1\in[1,2). \]El extremo \(2\), en cambio, está excluido:
\[ 2\notin[1,2). \]En una representación sobre la recta real, esto se muestra mediante un punto cerrado en \(1\) y un punto abierto en \(2\).
Una desigualdad tampoco crea un nuevo tipo de número
Una desigualdad como
\[ x<3 \]no define una nueva clase de números. Simplemente selecciona aquellos números reales que satisfacen la condición. Su conjunto solución es
\[ \left\{ x\in\mathbb{R}:x<3 \right\} = (-\infty,3). \]Por tanto, conviene distinguir tres ideas:
- un número real es un elemento de \(\mathbb{R}\);
- un intervalo es un subconjunto de \(\mathbb{R}\);
- una desigualdad impone una condición que puede determinar un subconjunto de \(\mathbb{R}\).
Síntesis
El redondeo modifica la precisión con la que representamos una cantidad, pero no altera el hecho de que los valores considerados sean números reales. Un valor exacto y una aproximación decimal no son necesariamente iguales, por lo que debe utilizarse correctamente el símbolo \(\approx\).
Al mismo tiempo, los intervalos y las desigualdades cumplen una función distinta: describen o seleccionan subconjuntos de la recta real. Esta distinción permite relacionar el sistema de números reales con intervalos y desigualdades sin confundir los conceptos.