Los intervalos son subconjuntos de los números reales que permiten describir de forma compacta todos los valores comprendidos entre determinados extremos.
Dependiendo de si esos extremos están incluidos o excluidos, podemos utilizar intervalos abiertos, cerrados o semiabiertos. También existen intervalos que se extienden indefinidamente hacia uno de los lados de la recta real.
Intervalos y desigualdades
La notación de intervalos está directamente relacionada con las desigualdades.
Por ejemplo, el intervalo
\[ (-2,3] \]
representa todos los números reales mayores que \(-2\) y menores o iguales que \(3\):
\[ (-2,3] = \{x\in\mathbb{R}:-2<x\leq3\}. \]
El extremo \(-2\) está excluido, mientras que el extremo \(3\) está incluido.
Intervalo abierto
Un intervalo abierto no contiene ninguno de sus extremos.
Si \(a<b\), se escribe
\[ (a,b) = \{x\in\mathbb{R}:a<x<b\}. \]
Por ejemplo,
\[ (-2,3) = \{x\in\mathbb{R}:-2<x<3\}. \]
En la recta real, los extremos excluidos se representan habitualmente mediante círculos abiertos.
Intervalo cerrado
Un intervalo cerrado incluye ambos extremos.
Su notación es
\[ [a,b] = \{x\in\mathbb{R}:a\leq x\leq b\}. \]
Por ejemplo,
\[ [-1,2] = \{x\in\mathbb{R}:-1\leq x\leq2\}. \]
Los extremos incluidos se representan mediante puntos o círculos rellenos.
Intervalos semiabiertos
Un intervalo también puede incluir solamente uno de sus extremos.
El intervalo
\[ [a,b) \]
incluye \(a\), pero excluye \(b\):
\[ [a,b) = \{x\in\mathbb{R}:a\leq x<b\}. \]
En cambio,
\[ (a,b] \]
excluye \(a\), pero incluye \(b\):
\[ (a,b] = \{x\in\mathbb{R}:a<x\leq b\}. \]
Cómo interpretar los símbolos
Los corchetes indican que un extremo pertenece al intervalo, mientras que los paréntesis indican que el extremo está excluido.
- \([a,b]\): ambos extremos incluidos.
- \((a,b)\): ambos extremos excluidos.
- \([a,b)\): \(a\) incluido y \(b\) excluido.
- \((a,b]\): \(a\) excluido y \(b\) incluido.
Intervalos infinitos
Algunos intervalos se extienden indefinidamente hacia la izquierda o hacia la derecha.
Para los números mayores o iguales que \(a\), escribimos
\[ [a,\infty) = \{x\in\mathbb{R}:x\geq a\}. \]
Para los números estrictamente mayores que \(a\),
\[ (a,\infty) = \{x\in\mathbb{R}:x>a\}. \]
Para los números menores o iguales que \(b\),
\[ (-\infty,b] = \{x\in\mathbb{R}:x\leq b\}. \]
Y para los números estrictamente menores que \(b\),
\[ (-\infty,b) = \{x\in\mathbb{R}:x<b\}. \]
El símbolo \(\infty\) no representa un número real ni un punto que pueda pertenecer al intervalo. Por esta razón, junto a \(+\infty\) o \(-\infty\) siempre se utilizan paréntesis.
Ejemplo: el intervalo [1, 4)
Consideremos el intervalo
\[ [1,4). \]
Este conjunto contiene todos los números reales desde \(1\), incluyendo \(1\), hasta \(4\), sin incluir \(4\):
\[ [1,4) = \{x\in\mathbb{R}:1\leq x<4\}. \]
Por ejemplo, pertenecen a este intervalo los números
\[ 1,\qquad \frac{3}{2},\qquad 2,\qquad \sqrt{5},\qquad 3.999. \]
Sin embargo, \(4\) no pertenece al intervalo:
\[ 4\notin[1,4). \]
Los intervalos como subconjuntos de los números reales
Todo intervalo real es un subconjunto de \(\mathbb{R}\). Si llamamos \(I\) a un intervalo, podemos escribir
\[ I\subseteq\mathbb{R}. \]
Esto significa que todos los elementos del intervalo son números reales.
Idea clave
Un intervalo describe un conjunto continuo de números reales mediante sus extremos y las condiciones que estos deben satisfacer.
Las desigualdades y la notación de intervalos expresan la misma información de dos maneras equivalentes. Por ejemplo,
\[ -2<x\leq3 \]
es equivalente a
\[ x\in(-2,3]. \]
Comprender esta equivalencia permite interpretar, representar y resolver con precisión problemas relacionados con intervalos, desigualdades y subconjuntos de la recta real.