Cuando redondeamos una cantidad, el número que escribimos cambia, pero eso no significa que hayamos cambiado de sistema numérico. Un valor exacto y sus distintas aproximaciones continúan siendo números reales. Lo que cambia es la precisión con la que representamos el valor.
Del valor exacto a una aproximación
Consideremos la medida exacta
\[ x = 2.34718\ \text{m}. \]
Podemos expresar esta misma cantidad con distintos niveles de precisión:
- a milésimas: \(2.347\ \text{m}\);
- a centésimas: \(2.35\ \text{m}\);
- a décimas: \(2.3\ \text{m}\).
Estos números no son iguales entre sí como valores exactos. Son aproximaciones de una misma cantidad obtenidas al modificar la cantidad de cifras decimales conservadas.
¿Qué valores se redondean a 2.35?
Supongamos que redondeamos números positivos a centésimas utilizando la regla decimal usual: cuando la cifra siguiente es \(5\) o mayor, la centésima aumenta en una unidad.
Para que un número real \(x\) se redondee a \(2.35\), debe satisfacer
\[ 2.345 \le x < 2.355. \]
Por tanto, el conjunto completo de valores admisibles es el intervalo
\[ [\,2.345,\;2.355\,). \]
El extremo izquierdo está incluido porque
\[ 2.345 \longrightarrow 2.35, \]
mientras que el extremo derecho está excluido porque
\[ 2.355 \longrightarrow 2.36. \]
Por ejemplo,
\[ 2.3549 \longrightarrow 2.35. \]
La frontera del redondeo
Los números \(2.345\) y \(2.355\) funcionan como fronteras para este proceso de aproximación. Entre ellas se encuentran exactamente los valores que, al redondearse a dos cifras decimales bajo la convención indicada, producen \(2.35\).
La representación en la recta numérica permite distinguir con precisión ambos extremos:
- \(2.345\) aparece como un extremo cerrado, porque pertenece al conjunto;
- \(2.355\) aparece como un extremo abierto, porque no pertenece al conjunto.
Esta diferencia entre un punto incluido y uno excluido es esencial. Un pequeño cambio en el valor puede producir un resultado de redondeo diferente.
Error de aproximación
Si \(x\) se redondea a \(2.35\), su distancia respecto de \(2.35\) es menor que \(0.005\). Por ello se cumple
\[ |x-2.35| < 0.005. \]
La cantidad \(0.005\) representa media centésima. Es precisamente la distancia entre \(2.35\) y cada una de las fronteras geométricas del intervalo de redondeo:
\[ 2.35-0.005=2.345, \]
\[ 2.35+0.005=2.355. \]
Debe observarse una sutileza: con la convención de redondeo utilizada aquí, el valor inferior \(2.345\) sí produce \(2.35\), mientras que el valor superior \(2.355\) produce \(2.36\). Por eso el intervalo no es simétricamente cerrado en ambos extremos.
Cambiar la precisión no cambia el conjunto numérico
El valor exacto
\[ 2.34718 \]
y las aproximaciones
\[ 2.347,\qquad 2.35,\qquad 2.3 \]
son todos números reales. En particular,
\[ 2.34718,\;2.347,\;2.35,\;2.3 \in \mathbb{R}. \]
El sistema de números reales contiene a los números naturales, enteros y racionales:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Como los decimales utilizados en este ejemplo son finitos, también son números racionales y, por tanto, números reales.
¿Qué ocurre si cambia la precisión?
Al modificar la precisión, cambian la aproximación obtenida y el tamaño máximo del error asociado.
Por ejemplo, para
\[ x=2.34718, \]
obtenemos
\[ 2.34718 \approx 2.347 \]
al redondear a milésimas,
\[ 2.34718 \approx 2.35 \]
al redondear a centésimas, y
\[ 2.34718 \approx 2.3 \]
al redondear a décimas.
Una representación con más cifras decimales suele conservar mayor información sobre el valor original, pero todas estas cantidades permanecen dentro del mismo conjunto numérico.
Conclusión
Redondear significa sustituir un valor por una aproximación adecuada a cierta precisión. No significa abandonar el sistema de los números reales.
En el caso del redondeo a centésimas mostrado en la lámina, todos los valores que producen \(2.35\) están caracterizados exactamente por
\[ 2.345 \le x < 2.355. \]
Así, cambiar la precisión modifica la representación y el error de aproximación, pero el valor exacto y sus aproximaciones continúan perteneciendo a \(\mathbb{R}\).