El número \(\sqrt{5}\) es un ejemplo especialmente útil para estudiar cómo se relacionan un valor exacto, sus aproximaciones decimales, su interpretación geométrica y su posición sobre la recta real.
Su forma exacta es
\[ \sqrt{5}. \]Como \(5\) no es el cuadrado de ningún número entero, \(\sqrt{5}\) no es racional. Por tanto,
\[ \sqrt{5}\in\mathbb{R} \qquad\text{y}\qquad \sqrt{5}\notin\mathbb{Q}. \]En consecuencia,
\[ \sqrt{5}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]1. El valor exacto
La expresión
\[ \sqrt{5} \]representa exactamente el único número real no negativo cuyo cuadrado es \(5\). Es decir,
\[ \left(\sqrt{5}\right)^2=5. \]Su desarrollo decimal comienza como
\[ \sqrt{5} = 2.23606797749979\ldots \]y continúa indefinidamente sin volverse periódico, como corresponde a un número irracional.
2. Aproximaciones decimales
Podemos aproximar \(\sqrt{5}\) conservando distintas cantidades de cifras decimales. Por redondeo obtenemos:
\[ \sqrt{5}\approx2.2 \]a una cifra decimal,
\[ \sqrt{5}\approx2.24 \]a dos cifras decimales,
\[ \sqrt{5}\approx2.236 \]a tres cifras decimales, y
\[ \sqrt{5}\approx2.2361 \]a cuatro cifras decimales.
Es importante distinguir entre truncamiento y redondeo. Por ejemplo,
\[ 2.23<\sqrt{5}, \]pero \(2.23\) no es el redondeo de \(\sqrt{5}\) a dos cifras decimales. El redondeo correcto a dos decimales es
\[ \sqrt{5}\approx2.24. \]3. Error absoluto de una aproximación
Si \(a\) es una aproximación de \(\sqrt{5}\), su error absoluto se define como
\[ E_a=\left|\sqrt{5}-a\right|. \]Para \(a=2.2\),
\[ \left|\sqrt{5}-2.2\right| \approx 0.03606798. \]Para \(a=2.23\),
\[ \left|\sqrt{5}-2.23\right| \approx 0.00606798. \]Para \(a=2.236\),
\[ \left|\sqrt{5}-2.236\right| \approx 0.00006798. \]Y para \(a=2.2361\),
\[ \left|\sqrt{5}-2.2361\right| \approx 0.00003202. \]Estas comparaciones muestran cómo las aproximaciones pueden acercarse cada vez más al valor exacto.
4. Entre dos enteros consecutivos
Podemos localizar \(\sqrt{5}\) sin utilizar calculadora. Sabemos que
\[ 4<5<9. \]Como
\[ 4=2^2 \qquad\text{y}\qquad 9=3^2, \]y la función \(x^2\) es creciente para \(x\geq0\), al tomar raíces cuadradas se obtiene
\[ 2<\sqrt{5}<3. \]Por tanto, el punto correspondiente a \(\sqrt{5}\) se encuentra entre \(2\) y \(3\) sobre la recta real.
5. Una localización más precisa
También podemos comparar cuadrados para determinar de qué lado de \(\sqrt{5}\) se encuentran números cercanos.
Por ejemplo,
\[ (2.2)^2=4.84<5. \]Como \(2.2>0\),
\[ 2.2<\sqrt{5}. \]Asimismo,
\[ (2.23)^2=4.9729<5, \]por lo que
\[ 2.23<\sqrt{5}. \]En cambio,
\[ (2.24)^2=5.0176>5, \]de donde
\[ \sqrt{5}<2.24. \]Así obtenemos una cota decimal útil:
\[ 2.23<\sqrt{5}<2.24. \]6. Interpretación geométrica
El número \(\sqrt{5}\) aparece naturalmente en geometría. Consideremos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden \(1\) y \(2\). Si \(h\) representa la hipotenusa, el teorema de Pitágoras establece
\[ h^2=1^2+2^2. \]Por tanto,
\[ h^2=1+4=5, \]y como una longitud es no negativa,
\[ h=\sqrt{5}. \]Así, \(\sqrt{5}\) puede interpretarse exactamente como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos \(1\) y \(2\).
7. De la geometría a la recta real
La construcción geométrica anterior también permite representar \(\sqrt{5}\) sobre la recta real. Si transportamos una longitud igual a la hipotenusa desde el origen, obtenemos el punto
\[ x=\sqrt{5}. \]Su posición es coherente con
\[ 2<\sqrt{5}<3. \]Más precisamente,
\[ \sqrt{5}\approx2.2360679775. \]8. Notación científica
Una cantidad no nula se encuentra en notación científica cuando se escribe como
\[ a\times10^n, \]con
\[ 1\leq|a|<10 \]y \(n\in\mathbb{Z}\).
Por ejemplo, la aproximación
\[ 2.2361 \]ya tiene un coeficiente entre \(1\) y \(10\), por lo que puede escribirse como
\[ 2.2361 = 2.2361\times10^0. \]Esta igualdad es exacta para el número decimal \(2.2361\), porque
\[ 10^0=1. \]Sin embargo, respecto al valor exacto \(\sqrt{5}\), debemos escribir
\[ \sqrt{5} \approx 2.2361\times10^0. \]9. Exactitud y aproximación no deben confundirse
La igualdad
\[ \left(\sqrt{5}\right)^2=5 \]es exacta.
En cambio,
\[ \sqrt{5}\approx2.2361 \]es una aproximación.
De hecho,
\[ (2.2361)^2 = 5.00014321, \]que es muy cercano a \(5\), pero no exactamente igual a \(5\). Por tanto,
\[ 2.2361\neq\sqrt{5}. \]10. Distintas expresiones relacionadas con el mismo valor exacto
Podemos describir \(\sqrt{5}\) de varias maneras matemáticamente relacionadas:
- como valor exacto: \(\sqrt{5}\);
- mediante su propiedad fundamental: \(\left(\sqrt{5}\right)^2=5\);
- como longitud geométrica de una hipotenusa con catetos \(1\) y \(2\);
- como un punto de la recta real entre \(2\) y \(3\);
- mediante aproximaciones decimales como \(2.236\) o \(2.2361\).
Las primeras representaciones describen exactamente el valor \(\sqrt{5}\). Las expresiones decimales finitas, en cambio, son números distintos que se utilizan para aproximarlo.
11. Verificación final
Podemos reunir las principales comprobaciones:
\[ \sqrt{5}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \] \[ \left(\sqrt{5}\right)^2=5, \] \[ 2<\sqrt{5}<3, \] \[ 2.23<\sqrt{5}<2.24, \]y
\[ \sqrt{5}\approx2.2361. \]Cada una aporta una perspectiva distinta: clasificación, definición, orden, localización y aproximación.
En síntesis
El número \(\sqrt{5}\) es un número real irracional cuyo valor exacto permanece representado por
\[ \sqrt{5}. \]Puede construirse geométricamente mediante el teorema de Pitágoras, ubicarse sobre la recta real mediante
\[ 2<\sqrt{5}<3, \]y aproximarse decimalmente mediante valores como
\[ 2.2,\qquad 2.23,\qquad 2.236,\qquad 2.2361. \]Estas aproximaciones permiten trabajar numéricamente con el valor, pero no deben confundirse con una igualdad exacta. La diferencia entre
\[ \sqrt{5}= \sqrt{5} \]y
\[ \sqrt{5}\approx2.2361 \]es fundamental para conservar el rigor matemático.