Un mismo número real puede escribirse de distintas maneras sin que cambie su valor. Una fracción, un número decimal, un porcentaje y una expresión en notación científica pueden representar exactamente el mismo punto sobre la recta real.
En la lámina analizamos el número
\[ \frac{3}{4}. \]Sus representaciones equivalentes son
\[ \frac{3}{4} = 0.75 = 75\% = 7.5\times10^{-1}. \]Estas expresiones tienen apariencias diferentes, pero todas representan exactamente el mismo número real.
Forma fraccionaria
La expresión
\[ \frac{3}{4} \]representa tres partes de un total dividido en cuatro partes iguales. También puede interpretarse como el cociente
\[ 3\div4. \]Como \(3\) y \(4\) son enteros y \(4\neq0\), tenemos
\[ \frac{3}{4}\in\mathbb{Q}. \]Y como
\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, \]también se cumple
\[ \frac{3}{4}\in\mathbb{R}. \]La forma fraccionaria es especialmente útil cuando queremos conservar una representación exacta basada en una razón entre números enteros.
Forma decimal
Para convertir la fracción en decimal, realizamos la división
\[ 3\div4=0.75. \]Por tanto,
\[ \frac{3}{4}=0.75. \]Aquí no estamos utilizando una aproximación: la igualdad es exacta. El decimal \(0.75\) termina, por lo que también es un número racional.
De hecho,
\[ 0.75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}. \]La representación decimal suele ser conveniente para realizar cálculos numéricos, comparar magnitudes y trabajar con mediciones.
Forma porcentual
Un porcentaje expresa una cantidad como una fracción de \(100\). Para convertir \(0.75\) en porcentaje multiplicamos por \(100\%\):
\[ 0.75\times100\%=75\%. \]Por tanto,
\[ 0.75=75\%. \]De manera equivalente,
\[ 75\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}. \]El porcentaje es especialmente útil cuando queremos expresar proporciones, tasas, descuentos, probabilidades relativas o partes de un total de manera intuitiva.
Notación científica
La notación científica expresa un número no nulo en la forma
\[ a\times10^n, \]donde
\[ 1\leq |a|<10 \]y \(n\) es un número entero.
Para \(0.75\), podemos escribir
\[ 0.75=7.5\times10^{-1}, \]porque
\[ 10^{-1}=\frac{1}{10}. \]Entonces,
\[ 7.5\times10^{-1} = 7.5\times\frac{1}{10} = 0.75. \]La notación científica resulta especialmente útil para representar números muy grandes o muy pequeños y para trabajar con órdenes de magnitud.
Comprobación de equivalencia
Podemos verificar todas las representaciones transformándolas en una misma forma. Por ejemplo,
\[ \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0.75. \]Además,
\[ 75\% = \frac{75}{100} = 0.75, \]y
\[ 7.5\times10^{-1} = 0.75. \]Por lo tanto,
\[ \boxed{ \frac{3}{4} = 0.75 = 75\% = 7.5\times10^{-1} } \]es una cadena de igualdades exactas.
El mismo punto sobre la recta real
Como todas las expresiones anteriores representan el mismo valor, también deben corresponder al mismo punto de la recta real.
Ese punto se encuentra en
\[ x=0.75=\frac{3}{4}. \]En particular,
\[ 0<\frac{3}{4}<1, \]de modo que el punto correspondiente está situado entre \(0\) y \(1\).
Cambiar la representación de un número no desplaza su posición en la recta real. Solo cambia la manera en la que escribimos o interpretamos ese mismo valor.
¿Cuándo conviene utilizar cada representación?
- Fracción: cuando interesa conservar una razón exacta entre enteros, como \(\frac{3}{4}\).
- Decimal: cuando resulta conveniente efectuar cálculos, comparar valores o trabajar con mediciones, como \(0.75\).
- Porcentaje: cuando queremos expresar una proporción respecto de \(100\), como \(75\%\).
- Notación científica: cuando interesa mostrar de manera compacta el orden de magnitud de una cantidad, como \(7.5\times10^{-1}\).
Una precisión importante
No todas las representaciones decimales que aparecen en matemáticas son necesariamente exactas. Por ejemplo,
\[ \frac{1}{3}=0.\overline{3}, \]mientras que escribir
\[ \frac{1}{3}\approx0.33 \]es solamente una aproximación.
En cambio, en el ejemplo de la lámina,
\[ \frac{3}{4}=0.75 \]es una igualdad exacta porque el desarrollo decimal termina.
En síntesis
Las representaciones
\[ \frac{3}{4}, \qquad 0.75, \qquad 75\%, \qquad 7.5\times10^{-1} \]no corresponden a cuatro números distintos. Son cuatro maneras equivalentes de representar un mismo número real.
Por ello,
\[ \frac{3}{4} = 0.75 = 75\% = 7.5\times10^{-1}, \]y todas estas expresiones corresponden exactamente al mismo punto de la recta real.