El sistema de los números reales reúne en un mismo conjunto a los números racionales y a los números irracionales. Geométricamente, cada número real puede asociarse con un punto de la recta numérica, y cada punto de esa recta representa un único número real.
La idea esencial
El conjunto de los números reales se denota por \(\mathbb{R}\). Dentro de él se encuentran conjuntos numéricos más específicos. Una de las relaciones fundamentales es
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]Aquí:
- \(\mathbb{N}\) representa el conjunto de los números naturales.
- \(\mathbb{Z}\) representa el conjunto de los números enteros.
- \(\mathbb{Q}\) representa el conjunto de los números racionales.
- \(\mathbb{R}\) representa el conjunto de los números reales.
Los números irracionales son precisamente los números reales que no son racionales. Si denotamos el conjunto de los irracionales por \(\mathbb{I}\), entonces
\[ \mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]Por tanto, los racionales y los irracionales forman una partición de \(\mathbb{R}\):
\[ \mathbb{Q}\cup\mathbb{I}=\mathbb{R}, \qquad \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing. \]Puntos representativos sobre la recta real
Algunos ejemplos permiten reconocer las distintas clases de números dentro de la recta real:
- \(-3\in\mathbb{Z}\), porque \(-3\) es un número entero.
- \(\frac{1}{2}\in\mathbb{Q}\), porque puede expresarse como cociente de dos enteros con denominador distinto de cero.
- \(\sqrt{2}\in\mathbb{I}\), porque no puede escribirse como cociente de dos enteros.
- \(\pi\in\mathbb{I}\), porque también es un número irracional.
Aunque estos números pertenecen a subconjuntos diferentes, todos ellos son números reales:
\[ -3,\ \frac{1}{2},\ \sqrt{2},\ \pi\in\mathbb{R}. \]Un intervalo exacto en la recta real
La recta numérica también permite representar subconjuntos continuos de \(\mathbb{R}\). Consideremos el intervalo
\[ [-2,3). \]Su notación por comprensión es
\[ [-2,3) = \left\{ x\in\mathbb{R}:-2\leq x<3 \right\}. \]El corchete situado en \(-2\) indica que ese extremo está incluido:
\[ -2\in[-2,3). \]Por esa razón se representa mediante un punto sólido sobre la recta numérica.
En cambio, el paréntesis situado en \(3\) indica que ese extremo está excluido:
\[ 3\notin[-2,3). \]Por ello, \(3\) se representa mediante un círculo abierto.
Cómo interpretar la región resaltada
El segmento comprendido entre \(-2\) y \(3\) representa todos los números reales que satisfacen simultáneamente
\[ -2\leq x \qquad\text{y}\qquad x<3. \]Por ejemplo,
\[ -2,\quad \frac{1}{2},\quad \sqrt{2} \in[-2,3), \]mientras que
\[ 3\notin[-2,3). \]Obsérvese también que \(\pi>3\), por lo que
\[ \pi\notin[-2,3). \]
La orientación creciente de la recta numérica es de izquierda a derecha. Así, si
\(a
La recta real proporciona una representación geométrica completa de
\(\mathbb{R}\). Los números racionales y los números irracionales son subconjuntos
disjuntos de los reales y, juntos, constituyen todo el sistema de números reales:
Los intervalos permiten seleccionar regiones específicas de esa recta mediante
condiciones exactas sobre sus extremos. En particular,
\([-2,3)\) contiene todos los números reales desde \(-2\), incluido, hasta \(3\),
sin incluirlo.
Conclusión